闭区间上连续函数的性质

有界性与最值定理

对于在区间I上有定义的函数$f(x)$,如果有$x_0 \in I$，使得对于任意$x \in I$都有$f(x) \leq f(x_0)$或者$f(x) \geq f(x_0)$，那么我们称$f(x_0)$是函数$f(x)$在区间上的最大值（最小值）。

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值

零点定理和介值定理

如果$x_0$使得$f(x_0)=0$,那么$x_0$称为函数$f(x)$的零点

设函数$f(x)$在闭区间上$[a,b]$上连续，且$f(a) \cdot f(b)<0$，那么至少存在一个数$\xi\in (a,b)$使得$f(\xi)=0$

设函数$f(x)$在闭区间上$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同的值，即$f(a)=A, f(b)=B$,那么对于任意给定的数$C\in (A,B)$，至少存在一个数$\xi \in (a,b)$使得$f(\xi)=C$

在闭区间$[a,b]$上连续的函数$f(x)$的值域为闭区间$[m,M]$,其中m和M分别是$f(x)$在区间上的最小值和最大值

一致连续性

设函数$f(x)$在闭区间I上有定义，如果对于任意给定的正数$\epsilon$，都有$\exists \delta>0$使得对于区间I上的任意两点$x_1,x_2$,当$|x_1 - x_2| < \delta$时，有$|f(x_1) - f(x_2) |< \epsilon$则称函数$f(x)$在区间I上一致连续

如果函数$f(x)$在闭区间I上连续，那么它在该区间上一致连续