无穷大和无穷小

定义： 如果函数$f(x)$当$x \to x_0$或者$x \to \infty$时的极限为零，那么则成函数f(x)为当$x \to x_0$或者$x \to \infty$时的无穷小

定理：在自变量的同一变化过程$x \to x_0$或者$x \to \infty$中，函数$f(x)$具有极限的充要条件是$f(x) = A + \alpha$,其中$A$为常数，$\alpha$为无穷小

定义： 如果函数$f(x)$当$x \to x_0$或者$x \to \infty$时的极限为无穷大，那么则成函数f(x)为当$x \to x_0$或者$x \to \infty$时的无穷大

一般地，如果$lim_{x \to x_0}f(x) = \infty$，那么直线$x = x_0$是函数$f(x)$图形的铅直渐近线

定理：在自变量的同一变化过程中，如果$f(x)$为无穷大，那么$\frac{1}{f(x)}$必为无穷小，反之，如果$f(x)$，且$f(x) \neq 0$为无穷小，那么$\frac{1}{f(x)}$必为无穷大

定义： 设：$\alpha, \beta$都是再同一个自变量的变化过程中的无穷小

• 如果$lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$ 那就就说$$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小，
• 如果$lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$，那么就说$\beta$是$\alpha$低阶的无穷小
• 如果$lim \frac{\beta}{\alpha} = C \neq 0$，那么就说$\beta$是$\alpha$同阶的无穷小
• 如果$lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，那么就说$\beta$是$\alpha$是等价无穷小