函数的连续性与间断点

连续性

设变量$u$从它的一个初值$u_1$变到终值$u_2$,终值与初值的差$u_2 - u_1$就叫做变量$u$的增量，记作$\Delta u = u_2 - u_1$

设函数 $y = f(x)$在点$x_0$的某一领域内有定义，如果$lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$，那么称函数在点$x_0$连续。或者设函数$y = f(x)$在点$x_0$的某一领域内有定义，如果$lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，那么就称函数$f(x)$在点$x_0$为连续的

在区间上每一个点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间是连续的，如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线

间断点

设函数$f(x)$在点$x_0$的某一领域内有定义，在此前提下，如果函数$f(x)$有下列三种情形之一

1. 在$x = x_0$处没有定义
2. 虽然在$x = x_0$处定义，但是$lim_{x \to x_0} f(x)$不存在
3. 虽然在$x = x_0$处定义,且$lim_{x \to x_0} f(x)$存在，但是不等于$f(x_0)$

那么称函数$f(x)$在点$x_0$不连续，而点$x_0$称为函数$f(x)$的间断点或者不连续点

间断点可以分为两类

1. 第一类间断点：在$x_0$是函数的不连续点，但是$lim_{x \to x_0^-} f(x)$和$lim_{x \to x_0^+} f(x)$都存在，
2. 第二类间断点：第一类以外的间断点

注：第一类间断点又可以分为两类，左右极限相等称为可去间断点，左右极限不相等称为跳跃间断点