初等函数的连续性与运算

连续函数的和差积商的连续性

设函数$f(x)$和$g(x)$在点$x_0$处连续，则它们的和、差、积、商（除数不为0）也在该点连续。

反函数和复合函数的连续性

假设函数$f(x)$在在区间商单调递增（单调递减）且连续，那么它的反函数也在对应区间上单增（单减）且连续。

设函数$y = f[g(x)]$由函数$u = g(x)$和函数$v = f(u)$复合而成，如果$\mathring U\subset D_{f\cdot g}$，若$lim_{x \to x_0} g(x) = u_0$，而函数$y=f(u)$在点$u_0$处连续，则函数$y = f[g(x)] = lim_{x \to x_0} f(u) = f(u_0)$

设函数$y = f[g(x)]$由函数$u = g(x)$和函数$y = f(u)$复合而成，如果$\mathring U\subset D_{f\cdot g}$，若函数$u=g(x)$在点$x_0$处连续，且$g(x_0) = u_0$, 而函数$y=f(u)$在点$u_0$处连续，则富含函数$y = f[g(x)]$在点$x_0$处连续。

一切初等函数在其定义区间内都是连续的