映射与函数

映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一种

映射

定义: 设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则$f$,使得对于X中的任意一个元素$x$,按照法则$f$, 在Y中都有唯一确定的元素$y$与之对应，则称$f$为从X到Y的映射，记为$f:X \rightarrow Y$。其中$y$称为元素$x$的像。并记作$f(x)$,即$y=f(x)$,而元素$x$称为元素$y$的一个原像。集合X称为映射$f$的定义域，记作$D_f$,X中所有元素的像的集合称为$f$的值域，记作$R_f$或者$f(X)$

设$f$是从集合X到集合Y的映射，若$R_f = Y$，即Y中任意一个元素都是X中某个元素的像，则称$f$X到Y的映射为满射，如果对X中的任意2个不同的元素$x_1, x_2$,都有$f(x_1) \neq f(x_2)$,即Y中每个元素的原像至多有一个，则称$f$为从X到Y的单射。如果既是满射又是单射，则称$f$为一一映射或者双射

逆映射和复合映射

射$f$是X到Y的映射，则有定义，对每个$y \in R_f$,有唯一的$x \in D_f$,适合$f(x) = y$,于是我们可以定义一个从$R_f$到$D_f$的映射，即对于每个$y \in R_f$,有唯一的$x \in D_f$与之对应，记为$x = f^{-1}(y)$。这个映射称为原映射$f$的逆映射

设有两个映射，$g:X \rightarrow Y_1$ 和 $f:Y_2 \rightarrow Z$，其中$Y_1 \subset Y_2$,则由映射$f$和$g$可以定义一个从X到Z的对应法则，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射$f$和$g$构成的复合映射，记作$f \circ g$

$$f \circ g: X \rightarrow Z, (f \circ g)(x) = f(g(x)), x \in X$$

函数

定义：设数集$D \subset R$,则称映射$f:D \rightarrow R$为定义在D上的函数，通常简记为$y=f(x), x \in D$,其中$D$称为函数的定义域, $x$ 称为自变量，$y=f(x)$称为因变量

如果函数的定义域以及对应法则是相同的，那么就说这2个函数是相同的

函数的定义域通常按一下两种方式来确定

• 有实际背景的函数，更具实际背景中变量的实际意义确定
• 抽象的用算式表示的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域被称为函数的自然定义域

常见函数

• 常数数函数：$y=c, c \in R$
• 绝对值函数：$y=|x|, x \in R$
• 符号函数 $y=sgn(x), x \in R$
• 取整函数 $y=floor(x), x \in R$
• 分段函数

函数特性

有界性

设函数$f(x)$的定义域为$D$,数集$x \subset D$,则函数$f(x)$,如果存在数$K_1$使得$f(x) \leq K_1$，对于任一$x \in X$,都成立，那么称函数$f(x)$在$X$上有上界，而称$K_1$为函数在X上的一个上界。

同理，如果存在数$K_2$,使得对于任一$x \in X$,都有$f(x) \geq K_2$成立，那么称函数$f(x)$在$X$上有下界，而称$K_2$为函数在X上的一个下界

如果存在正数M,使得对于任一$x \in X$,都有$|f(x)| < M$成立，那么称函数$f(x)$在X上有界

单调性

设函数$f(x)$的定义域为$D$,数集$I \subset D$,则函数$f(x)$如果对于区间I上任意两点$x_1,x_2$

当$x_1 < x_2$时，恒有$f(x_1) < f(x_2)$，那么，称函数$f(x)$在区间I上单调增加

当$x_1 < x_2$时，恒有$f(x_1) > f(x_2)$，那么，称函数$f(x)$在区间I上单调减少

奇偶性

设函数$f(x)$的定义域为$D$关于原点对称，如果对于任一$x \in D$,都有$f(-x) = f(x)$成立，那么称函数$f(x)$为偶函数, 图像关于Y轴对称

设函数$f(x)$的定义域为$D$关于原点对称，如果对于任一$x \in D$,都有$f(-x) = -f(x)$成立，那么称函数$f(x)$为奇函数, 图像关于原点对称

周期性

设函数$f(x)$的定义域为$D$，数集$I \subset D$,则函数$f(x)$如果对于任一$x \in I$,都有$f(x+T) = f(x)$成立，那么称函数$f(x)$在区间I上周期函数，而称周期为T，通常我们说周期为最小正周期

并非所有的周期函数都有最小正周期，狄利克雷函数就是一个例子

$$D(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$$

反函数和复合函数

设函数$f:D \rightarrow f(D)$，则它存在逆映射$f^{-1}:f(D) \rightarrow D$，则称此映射为函数的反函数

由于习惯上自变量用$x$表示，因变量用$y$表示，因此，我们称$f^{-1}$为$y=f(x)$的逆函数，记为$x=f^{-1}(y)$

对于反函数来说，原来的函数被称为直接函数，直接函数和反函数的图像关于直线 $y=x$ 对称

设函数$y = f(x)$的定义域为$D_f$,函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$,其值域为$R_g$,且满足$R_g \subset D_f$，则$y=f[g(x)], x \in D_g$称为函数$f$和$g$的复合函数，记为$f \circ g$,

函数运算

设函数$f(x)$和$g(x)$的定义域依次为$D_f,D_g$,且$D_f \cap D_g = D \neq \emptyset$,则我们可以规定2个函数的运算

• 和（差） $(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x), x \in D$
• 积 $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x), x \in D$
• 商 $(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, x \in D, g(x) \neq 0$

初等函数

1. 幂函数 $y = x^n, n \in \mathbb{R}$
2. 指数函数 $y = a^x, a > 0 且 a \neq 1$
3. 对数函数 $y = \log_a x, a > 0 且 a \neq 1$
4. 三角函数 $y = \sin x, \cos x, \tan x$
5. 反三角函数 $y = \arcsin x, \arccos x, \arctan x$

幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数被称为基本初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数称为初等函数

[双曲函数]

• 双曲正弦函数 $y = \sh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
• 双曲余弦函数 $y = \ch x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
• 双曲正切函数 $y = \th x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

$\sh(x + y) = \sh x \ch y + \ch x \sh y$ $\sh(x - y) = \sh x \ch y - \ch x \sh y$ $\ch(x + y) = \ch x \ch y + \sh x \sh y$ $\ch(x - y) = \ch x \ch y - \sh x \sh y$

[反双曲函数]

• 反双曲正弦函数 $y = arsh x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$
• 反双曲余弦函数 $y = arch x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$
• 反双曲正切函数 $y = arth x = \frac{1}{2}\ln(\frac{1 + x}{1 - x})$