导数概念

直线运动的速度

设某质点沿直线运动，在直线上规定了原点，正方向和单位长度，使直成为数轴，此外，在取定一个时刻作为测量时间的零点，设质点于时刻t在直线上的位置为s，这样，该质点的运动完全由某个函数$s=f(t)$所确定，此函数对运动过程中所出现的t值有定义，称为位置函数，在最简单的情形下，该质点所经过的路程和所花的时间成正比，也就是说，无论取那一段时间间隔，比值

$$\frac{经过的路程}{所花时间}$$

总是相同的，这个比值就称为该质点的速度。，并且说该质点作匀速运动。如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值会不同，

取从时刻$t_0$d到t这样一个时间间隔，在这段时间内，质点从位置$s_0$移动到位置$s_t$,则由

$$\frac{s_t-s_0}{t-t_0} = \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$$

可以认为是质点在上述时间间隔内的平均速度，如果这个时间间间隔足够短，那么

$$v=lim_{t \to t_0} \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$$

这时，把这个极限值称为质点在时刻$t_0$的瞬时速度

切线问题

圆的切线可定义为“于曲线只有一个交点的直线”，但是对于其他曲线，用这个定义切线就不一定合适，例如，在抛物线上$y=x^2$上，因为在原点处，两个坐标轴都符合上述的定义，但是实际上只有$x$轴是切线

设$M(x_0,y_0)$是曲线C上的一个点，则$y_0=f(x_0)$,要求出点M在曲线C上的切线，只要确定切线的斜率就行，为此，在点M外另取一点$N(x,y)$,于是割线MN的斜率

$$tan \alpha=\frac{y-y_0}{x-x_0} = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

其中$\alpha$为割线MN的倾角，当点N无限接近于M时，割线MN就变成了切线,即

$$k = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

那么此极限就是切线的斜率

导数的定义

设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个领域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$时，函数值相应地取得增量$\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$,如果$\Delta y$和$\Delta x$之比当$\Delta x$趋向于0的极限存在，那么称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$的导数，记为

$$f'(x) = lim_{x \to x_0 } \frac{\Delta y}{\Delta x} = lim_{x \to x_0 } \frac{f(x_0+ \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

如果函数$y = f(x)$在开区间I捏的每点处可导，那么就称函数$f(x)$在开区间内可导，这时对于$\all x \in I$都对应着$f(x)$的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，称为$f(x)$的导函数，记为$f'(x)$