高阶导数

我们知道变速直线运动的速度$v(t)$时位置函数$s$对时间$t$的导数，$v = \frac{ds}{dt}$, 而加速度$a$时速度函数$v$对时间$t$的导数，即$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \frac{ds}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$ 这种导导数叫做$s$对$t$的二阶导数。即$a = s''(t)$ 二阶导数以及二阶导数以上的导数统称为高阶导数。记作$s^{(n)}(t)$ 其中$n$是导数的阶数。

$$(e^x)^{(n)} = e^x \\ (sin x)^n = sin(x + n \frac{\pi}{2}) \\ (cos x)^n = cos(x + n \frac{\pi}{2}) \\ [ln(1 + x)]^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{ (n - 1)!}{(1 + x)^n}$$

和差积商

$$(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)} \\ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n-k)} \quad \text{莱布尼茨Leibniz公式}$$