函数的微分

设函数$y=f(x)$在某区间内有定义，$x_0$以及$x_0+\Delta x$在这区间内，如果函数的增量

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$

可以表示为

$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$$

其中$A$是不依赖于$\Delta x$的常数，而$o(\Delta x)$表示比$\Delta x$高阶的无穷小量，那么称函数$y = f(x)$在点$x_0$处可微，而$A\Delta x$称为函数在点$x_0$处相应于$\Delta x$的微分

几何意义

用切线段来近似代替曲线段，在局部范围内用线性函数来近似代替非线性函数

运算法则和常见的微分公式参见导数的相关内容

常用的近似公式

$$(1 + x)^n \approx 1 + nx \\ sinx \approx x \quad \text{用弧度为单位}\\ tanx \approx x \quad \text{用弧度为单位}\\ e^x \approx 1 + x \\ ln(1+x) \approx x$$

误差估计

如果某个量的精确值是A,它的近似值是a,那么|A-a|叫做a的绝对误差，而绝对误差与近似值a的比值叫做相对误差，即|A-a|/a

由于在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是句对误差和相对误差也是无法确定的，但是根据测量仪器的误差的精度等因素，有时能够确定误差在某一个范围内，如果某个量的精确值是A，测得它的近似值是a, 有知道它的误差不超过$\detla_A$,即

$$|A-a|\leq \delta_A$$

那么$\detla_A$叫做测量A的绝对误差限。而$\frac{\delta_A}{|a|}$j叫做相对误差限