微分中值定理

罗尔定理

费马引理: 设函数$f(x)$在点$x_0$的某领域$U_{x_0}$内有定义，并且在$x_0$处可导，如果对于任意的$x \in U_{x_0}$有$f(x) \leq f(x_0)$,或者$f(x) \geq f(x_0)$,那么$f'(x_0) = 0$，换言指，驻点处导数为0。

罗尔定理: 如果函数$f(x)$ 满足

1. 在闭区间$[a,b]$上连续
2. 在开区间$(a,b)$内可导
3. 在区间端点处的函数指相等，即$f(a) = f(b)$

那么在$(a,b)$内至少有一点满足$f'(\xi) = 0$

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理: 如果函数$f(x)$满足

1. 在闭区间$[a,b]$上连续
2. 在开区间$(a,b)$内可导

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi$,使得$$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$。

定理：如果函数$f(x)$在区间I上连续，I内可导且导数恒为0，那么$f(x)$在I上是常数。

柯西中值定理

柯西中值定理: 如果函数$f(x)$以及函数$F(x)$满足

1. 在闭区间$[a,b]$上连续
2. 在开区间$(a,b)$内可导
3. 对于$\forall x \in (a,b)$有$f'(x) \neq 0$

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi$,使得

$$\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$$