单调性与凹凸性

定理1： 设函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在区间$(a,b)$内可导

1. 如果在$(a,b)$内$f'(x) \geq 0$且等号尽在有限多个点处成立，那么称函数在区间$(a,b)$内单调递增
2. 如果在$(a,b)$内$f'(x) \leq 0$且等号尽在有限多个点处成立，那么称函数在区间$(a,b)$内单调递减

一般地，我们有一下结论:*如果函数$f(x)$在定义区间上连续，除去有限个导数不能存在的点外导数存在且在区间内只有有限个驻点，那么只要用函数的驻点以及导数不存在的点来划分函数$f(x)$的定义区间，就能保证$f'(x)$在各个部分区间内保持固定符号，从而保证函数在这些区间内单调递增或递减。

曲线的凹凸性可以用连结曲线弧上的任意两点的弦的中点鱼曲线弧上相应点的位置关系来描述

定义： 设$f(x)$在区间I上连续，如果对I上任意两点$x_1, x_2$，其中$x_1 < x_2$，恒有

$$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$

那么称$f(x)$在区间I上的图形是向上的（凹的），反之，如果恒有

$$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$

那么称$f(x)$在区间I上的图形是向下的（凸的）

定理2： 若$f(x)$在区间I上连续，且在$(a,b)$内具有一阶和二阶导数，那么

1. 若$f''(x) > 0$，则函数在$(a,b)$内凹
2. 若$f''(x) < 0$，则函数在$(a,b)$内凸