泰勒公式

对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似的表达，由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次的加减乘运算，便能求出它的函数值，因此我们可以用多项式来近似表达函数

定理1: 如果函数$f(x)$在$x_0$处具有$n$阶导数，那么存在$x_0$的一个领域，对于该领域的$\forall x$，满足

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$$

其中$R_n(x) = o((x-x_0)^n)$

定理2： 如果函数$f(x)$在$x_0$的某个领域内具有$n + 1$阶导数，那么对于该领域的$\forall x$，满足

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} + R_{n+1}(x)$$

其中$R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$，其中$\xi$介于$x_0, x$

例1： $f(x) = e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$

例2： $f(x) = \sin x$在$x_0=0$处的泰勒公式为$f(x) = \sin x \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$