极值与最值

定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某领域内有定义，如果对与去心领域内的任一点 $x$ ，都有

f(x_0) \geq f(x) \quad \text{或} \quad f(x_0) \leq f(x)

那么，就称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极大值或者极小值

函数的极大值和极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点

定理1（必要条件）：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且在 $x_0$ 处取得极值，则 $f'(x_0) = 0$

定理2（第一充分条件）：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某去心领域内可导，

若 $x \in (x_0 - \delta, x_0)$ 时， $f'(x) > 0$ ,而 $x \in (x_0, x_0 + \delta)$ 时， $f'(x) < 0$ ,则 $f(x_0)$ 是极大值
若 $x \in (x_0 - \delta, x_0)$ 时， $f'(x) < 0$ ,而 $x \in (x_0, x_0 + \delta)$ 时， $f'(x) > 0$ ,则 $f(x_0)$ 是极小值
若 $x \in (x_0 - \delta, x_0)$ 和 $x \in (x_0, x_0 + \delta)$ 时， $f'(x)$ 符号保持不动,则 $f(x_0)$ 不是极值

定理3（第二充分条件）：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处具有二阶导数，且 $f'(x_0) = 0$ , $f''(x_0) \neq 0$ ,则

最值

假定函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内除有限个点外可到，且至多有有限个驻点，在上述条件下，我们可以讨论 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最值问题

首先，有闭区间上连续函数的定义可知， $f(x)$ 在 $[a, b]$ 的最大值和最小值一定时存在的，
其次，如果最大(小)值 $f(x_0)$ 在开区间 $(a, b)$ 内取得，那么 $x_0$ 一定是驻点或者不可导点，可能 $f(x)$ 的最值可能在函数的端点取得，因此可以用一下方法求取最值