极限存在准则

$$lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=l$$

$$lim_{x\to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$$

准测1: 如果数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}\$以及${z_n}$满足以下条件

1. 从某项起，即$\exists n_0\in \mathbf N$，使得$n > n_0$, 有 $y_n \leq x_n \leq z_n$

2. $\lim_{n\to \infty}y_n = \lim_{n\to \infty}z_n = a$

那么数列$\{x_n\}$的极限也存在，且$\lim_{n\to \infty}x_n = a$

准则2: 如果$x \in U_{circle}(x_0, r)$或者$|x| > M$，时，满足以下条件

1. $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$

2. $\lim_{x\to x_0}g(x) = \lim_{x\to x_0}h(x) = a$

那么$\lim_{x\to x_0}f(x) = a$

准测1和准则2称为夹逼准则

准测3：单调有界数列必有极限

柯西极限存在定理： 数列$\{x_n\}$ 收敛的充要条件是对于任意给定的正数$\epsilon$，存在正整数N，使得当$n,m > N$时，有$|x_n - x_m| < \epsilon$