数列的极限

极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的，例如我国古代数学家刘徽通过割圆术推导圆的面积方法

如果按照某一个法则，对每个$n \in N$，对应一个确定的实数$x_n$,这些实数按照下标从小到大排列得到的一个序列$x_1, x_2, \cdots, x_n$,就叫做数列，记为$\{x_n\}$

数列中的每一个数叫做数列的项，第$n$项$x_n$叫做数列的一般项或者通项

设$\{x_n\}$为一个数列，如果常数$a$, 使得对于任意给定的正数$\epsilon$，总存在一个正整数$N$, 只要$n > N$时，就有$|x_n - a| < \epsilon$, 那么常数$a$就叫做数列$\{x_n\}$的极限或者$\{x_n\}$收敛于$a$，记为$\lim_{n \to \infty} x_n = a$或者$x_n \to a(n \to \infty)$

收敛数列的性质

定理1： 如果数列$\{x_n\}$收敛，那么它的极限就是唯一的

定理2： 如果数列$\{x_n\}$收敛，那么它一定是有界的

定理3： 如果数列$lim_{n \to \infty} x_n = a$，且$a > 0或者a < 0$，那么存在一个正整数$N$,使得$n > N$时，都有$x_n > 0或者x_n < 0$

设在数列$\{x_n\}$中第一次抽取$x_{n1}$, 第二次抽取$x_{n2}$, 重复抽取，直到抽取出$x_{nk}$，此时$x_{nk}$为数列$\{x_n\}$的第$k$项，记为$x_{nk}$，那么数列$\{x_{nk}\}$叫做原数列$\{x_n\}$的子列

定理4： 如果数列$\{x_n\}$收敛于$a$，那么它的任何子列也收敛, 且极限为$a$