函数的极限

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限

自变量的变化过程中主要研究下述两种情形

• 自变量任意的接近于某个值$x_0$时，函数值的变换情况
• 自变量从某一侧趋向于无穷大时，函数值的变换情况

设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心领域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\epsilon$（不论它多么小），总存在一个正数$\delta$（不论它多么小），使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-A|<\epsilon$成立，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$在点$x_0$的极限，记作$\lim_{x\to x_0} f(x)=A$

在$x \to x_0^-$的情形下，$x$在$x_0$的左侧，$x < x_0$，在$lim_x \to x_0^- f(x) = A$的定义中，把 $0 < |x-x_0| < \delta$ 改为 $x_0 - \delta < x < x_0$,那么A就叫做函数的左极限，记作$lim_{x\to x_0^-} f(x) = A$

同理，在$x \to x_0^+$的情形下，$x$在$x_0$的右侧，$x > x_0$，在$lim_x \to x_0^+ f(x) = A$的定义中，把 $0 < |x-x_0| < \delta$ 改为 $x_0 < x < x_0 + \delta$，那么A就叫做函数的右极限，记作$lim_{x\to x_0^+} f(x) = A$

左极限和右极限统称为单侧极限

函数在$x \to x_0$极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在，且相等，即$lim_{x\to x_0^-} f(x) = lim_{x\to x_0^+} f(x)$

设函数$f(x)$当$|x|$大于某一正数时有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\epsilon$ （不论它多么小），总存在一个正数$X$（不论它多么大），使得当$|x|>X$时，有$|f(x)-A|<\epsilon$成立，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$在点$x \to \infty$的极限，记作$\lim_{x\to \infty} f(x)=A$

直线$y=A$是函数$y = f(x)$的水平渐进性

1. $lim_{x\to x_0} c = c$
2. $lim_{x\to x_0} x = x_0$

性质

1. 函数极限的唯一性
2. 函数极限的局部有界性
3. 函数极限的局部保号性